代数方法下的数论基础：从Peano结构到环的表示与完备化

摘要: 数论 (number theory) 是一门古老而有趣的数学分支, 它的主要研究对象是数的性质, 它的发展可以追溯到 Euclid 的时期, 也就是约公元前 300 年. 数论早期被称为算术, 20 世纪初, 才逐渐开始使用数论这一名称, 此时, “算术”一词则被表达为“基本运算”. 不过也有一部分数学家仍然使用“算术”来表示数论, 例如, 在 1952 年, 数学家 Harold Davenport 就是用“高等算术”一词来表示数论. 本文是一篇关于数论基础的讲稿, 它将从 Dedekind–Peano 结构开始, 并站在代数的角度, 以群, 环, 域, 和表示为底层数学逻辑, 从什么是自然数开始, 逐步引入整数, 有理数, 实数, 和复数的概念, 并向读者展示如何利用表示理论来重新建立数的基本体系以及数系的扩张. 在从自然数扩张到复数的整个过程中, 本文会依次穿插半群的半完备化 (semi-completion) 与带余除法 (Euclidean division) (见第 1 章), 环 (ring) 及其表示(representation) (见第 2 章), 一元多项式环 (见第 3 章), 环的局部化与完备化 (见第 4 章).这篇讲义也引入了一些新的代数观点, 例如将每个环 R 的表示实现为环的完备化,即实现为标准自由模/标准直积模 (standard free module/standard direct product) 的商模. 这种完备化虽然与分析中对拓扑空间的完备化略有不同, 但是却有着相同的底层逻辑, 因此, 本讲义将这类完备化称为非典范完备化 (non-canonical completion). 在第 2 章
的第 2.1.3 小节和第 4 章的第 4.4.2 小节, 本文利用同构基本定理 (the 1stIsomorphism Theorem) 证明了数的 k-进制表示 (k > 2) 本质上就是 Z-的非典范完备化.本文还介绍了初等数论中最重要最基本四条的结论: 中国剩余定理 (见第 3 章), 算术基本定理 (见第 5 章), Fermat–Euler 定理 (见第 7 章), 以及 Wilson 定理 (见第 8 章); 也介绍了一些关于连分数的基本内容 (见第 6 章).