Newton 引力场中多体系统周期轨道的开普勒第三定律

摘要: 对于2体系统，有Kepler三定律，即椭圆定律、面积定律和周期定律；显然，对于3体系统，由于周期轨道已经不是椭圆，所以不存在椭圆定律，同时由于这时的周期轨道拓扑上比较复杂，面积定律也不一定成立。从对3体问题的大量数值模拟看，每一个物体沿其轨道走一圈的时间是相同的，就是说，对于给定的3体的质量，在引力场作用下，其周期轨道的周期可能满足Kepler周期定律。现在的问题是，从这些有限的数值实验总结出的结论是否是3体系统普遍存在的运动规律？如果是，能否推广到多体系统？显然，随着物体数目的增加，自由度越来越多，动力学过程异常复杂，如果继续使用数值模拟来研究多体问题，计算工作越来越存在挑战，所以必须想其他办法，进行必要的理性思考。 如果不使用数值模拟，而使用量纲分析的方法是否也可以得出类似的规律？因为量纲分析方法是一种普遍适用的方法，使用这种方法得到的结果一般具有普适性，这样就可以弥补使用有限次数的数值模拟总结出一般规律的不足。使用量纲分析方法不仅是对数值模拟的一个很好的互补，而且可以统一的处理多体问题。 设有一个多物体系统，其中有 $n$ 个物体，$m_k \,(k=1,\ldots, n)$，每个物体都在同一个 Newtonian 引力场中做周期轨道运动，引力场常数是 $G$ 。假设不考虑每个物体的旋转，把每个物体看成一个质点，它们之间不能相互碰撞，每一个物体都有它们自己的周期轨道。这是我们可以事先知道和假定的，但我们不知道它们将如何运动。现在的问题是，如何从这些有限的信息中，提炼出问题的基本参量？使用量纲分析成败的一个关键环节就是如何选取问题基本参量，如果参量选取不正确，会导致非常荒唐的结果。那么，对于多体系统，那些参量才是核心的基本参量呢？ 从物理上看，这些基本参量应当包括引力场、物体的特征质量和周期轨道的特征尺度这三个方面。显然，对于 Newtonian 引力场可以取引力常数 $G$ ；物体的特征质量可以仿照2体系统取约化质量 $M$；每个周期轨道千差万别，不能像椭圆轨道那样去半长轴为特征尺度，但是周期轨道有个拓扑特征就是轨道都是封闭，所以可以把封闭轨道包围的面积作为轨道的特征尺度，即周期轨道面积 $A$。由于引力正比于相关物体质量的乘积，仿照2体系统中的参数 $\alpha=Gm_im_j$, 我们不直接使用 $G$，而是使用 $n$ 体系统的$\alpha_n$。 本文的基本结果可以阐述如下：本文从量纲分析的角度，统一的研究了多体系统的周期轨道周期问题。首先，根据多体系统的特点，选取引力场参数 $\alpha_n$ , 系统约化质量 $M_n$ 和周期轨道所围面积 $A$ 为基本参量，然后把周期 $T$ 和 系统能量 $E$ 表达成 这三个基本参量的函数，使用量纲分析的 Buckingham 定理，可以分别把这二个关系，简化成无量纲关系，特别惊喜的是，这二个关系都只能分别产生一个无量纲 $\pi$, 由于只有一个 $\pi$, 所以这个 $\pi$ 就必须是一个常数。如何确定这个常数是成功的第一步，它可以这样来确定。由于二体系统是多体的特殊情况，利用其已经开普勒第三定律，我们可以唯一确定其中的一个常数。从而，从量纲分析的普遍的角度，推导出多体系统的普适规律: Kepler 第三定律，即周期律。这个定律是说，如何一个多体系统，其周期运动满足轨道面积的 $3/4$ 幂次律、或者是总能量的 $3/2$ 幂次律。 量纲分析虽然可以给出问题的核心关系，但还不能完全具体确定多体系统的Kepler第三定律，还需要利用其它已有的结果所提供的信息来进一步的确定。可惜的是，我们只有2体系统的解析结果，即Kepler第三定律。从量纲分析所得到的一般关系，模仿2体的Kepler第三定律，并根据物理的对称性把2体Kepler第三定律扩展到多体系统，从而得到了多体Kepler 第三定律，其中没有任何待定参数。特别是，对于2体系统，多体的Kepler第三定律完全退化成经典的Kepler第三定律，说明提出的多体开普勒定律与经典结果是协调一致的。 利用我们得到的多体Kepler第三定律，对于2体系统和三体系统，我们进行了数值计算。通过与3体系统的其他数值计算比较，发现吻合度很好。有很好的线性性。